La formule de l’espérance en R

Commencez par exprimer chaque trade en R. 1R est le montant que vous aviez prévu de perdre si le stop est touché : la distance entre l’entrée et le stop multipliée par la taille de la position. Le multiple de R d’un trade est son résultat divisé par ce montant ; pour un achat, (sortie − entrée) ÷ (entrée − stop). Exemple hypothétique : achat à 50,00 $ avec un stop à 49,00 $, donc 1R vaut 1,00 $ par action ; revendre à 52,10 $ donne +2,1R, et un stop touché à 49,00 $ donne −1R, ou pire en cas de glissement.

L’espérance est alors simplement le multiple de R moyen : additionnez le R de chaque trade et divisez par le nombre de trades. Séparer cette moyenne entre gagnants et perdants donne la formule connue, E = W × gain moyen − (1 − W) × perte moyenne, qui montre d’où vient un avantage : la fréquence des gains, et leur taille par rapport aux pertes. Multipliée par la somme risquée par trade, elle devient une espérance en dollars : avec un risque fixe de 100 $, +0,2R représente +20 $ par trade en moyenne, avant impôts, avec de fortes variations autour de cette moyenne.

R (1R)
Le montant que vous prévoyez de perdre sur un trade si le stop est touché : la distance entre l’entrée et le stop multipliée par la taille de la position.
Multiple de R
Le résultat d’un trade divisé par son 1R. +2R signifie que vous avez gagné deux fois ce que vous risquiez ; −1R, que vous avez perdu le montant prévu.
Espérance (expectancy)
Le multiple de R moyen par trade : W × gain moyen − (1 − W) × perte moyenne. Positive, elle signifie que les gagnants l’ont emporté sur les perdants dans cet échantillon.
Taux de gain (win rate)
La part des trades clôturés en bénéfice, W. À lui seul, il ne dit rien de la rentabilité.
Ratio de gain (payoff ratio)
Le gain moyen divisé par la perte moyenne, tous deux en R : le ratio gain/risque réellement obtenu.
Erreur type
L’écart probable entre une moyenne mesurée sur un échantillon et la vraie valeur : l’écart type des multiples de R divisé par la racine carrée du nombre de trades.

Taux de gain contre gain moyen : l’arbitrage et le seuil d’équilibre

Un taux de gain élevé et un gain moyen élevé tirent en sens inverse. Des objectifs proches sont souvent atteints mais rapportent peu ; des objectifs lointains rapportent beaucoup mais sont atteints moins souvent. Aucun des deux chiffres ne compte seul : une méthode qui gagne 7 trades sur 10 perd quand même de l’argent si sa perte moyenne vaut trois fois son gain moyen.

Posez l’espérance égale à zéro et résolvez en W : W × R = 1 − W, donc le taux de gain d’équilibre vaut 1 ÷ (1 + R), où R est le ratio de gain. À 1:1, il faut gagner plus de 50 % des trades ; à 2:1, plus de 33,3 % ; à 3:1, plus de 25 %. La courbe ci-dessous trace cette limite : au-dessus, l’espérance est positive, en dessous, négative.

Les objectifs prévus ne sont pas les gains obtenus, c’est pourquoi le guide du ratio risque/rendement traite le R:R prévu comme un point de départ. Les combinaisons ci-dessous donnent l’espérance par trade avant coûts ; un vrai échantillon qui affiche à la fois un taux de gain élevé et un gain moyen important manque en général de trades ou oublie des coûts.

  • Taux de gain 30 % : −0,40R à 1:1, −0,25R à 1,5:1, −0,10R à 2:1, +0,20R à 3:1.
  • Taux de gain 40 % : −0,20R à 1:1, 0,00R à 1,5:1, +0,20R à 2:1, +0,60R à 3:1.
  • Taux de gain 50 % : 0,00R à 1:1, +0,25R à 1,5:1, +0,50R à 2:1, +1,00R à 3:1.
  • Taux de gain 60 % : +0,20R à 1:1, +0,50R à 1,5:1, +0,80R à 2:1, +1,40R à 3:1.

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Une courbe du taux de gain d’équilibre, 1 ÷ (1 + ratio gain/risque), avec le ratio gain/risque de 0,5 à 4 en abscisse et le taux de gain de 0 % à 70 % en ordonnée. La zone au-dessus de la courbe est hachurée en vert, avec la mention espérance positive ; la zone en dessous est hachurée en rouge, avec la mention espérance négative. Trois points sont marqués : 1:1 → 50 %, 2:1 → 33 % et 3:1 → 25 %.

Séries de pertes : jusqu’où elles vont vraiment

L’espérance est une moyenne, et les moyennes cachent le chemin. Si chaque trade perd avec une probabilité q, la probabilité que les N trades suivants perdent tous vaut q puissance N. Avec un taux de gain de 40 %, q = 0,6 : les 5 trades suivants perdent tous avec une probabilité de 0,6^5 ≈ 7,8 %, et les 8 suivants avec environ 1,7 %. Cela paraît rare, et cela répond à la mauvaise question.

La bonne question est la probabilité qu’une série apparaisse quelque part dans une longue suite. Sur 100 trades avec le même taux de gain de 40 %, une série d’au moins 5 pertes apparaît dans environ 98 % des cas, d’au moins 6 dans environ 87 %, d’au moins 8 dans environ 49 % et d’au moins 10 dans environ 20 % (calcul exact, en supposant des trades indépendants). Autrement dit, 8 pertes d’affilée relèvent presque du pile ou face sur 100 trades d’une méthode à espérance positive.

Dimensionnez vos positions pour qu’une telle série reste supportable, financièrement et nerveusement, ce que traitent les leçons sur le critère de Kelly et la gestion du risque, et décidez à l’avance qu’une série seule ne prouve pas que l’avantage a disparu. La psychologie du trading explique pourquoi c’est plus difficile qu’il n’y paraît.

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Une échelle pour un taux de gain hypothétique de 40 %, donc 6 trades sur 10 perdants. Chaque ligne montre une suite de carrés rouges pour 5, 6, 8, 10 et 12 pertes d’affilée, puis la probabilité que les N trades suivants perdent tous : 7,8 %, 4,7 %, 1,7 %, 0,6 % et 0,2 %, puis une barre rouge pour la probabilité d’au moins une telle série en 100 trades : 97,6 %, 87,3 %, 49,0 %, 20,5 % et 7,7 %. Une note en bas indique la série que vous vivrez sera plus longue que prévu.

Combien de trades avant de faire confiance au chiffre ?

Une espérance mesurée sur un échantillon est une estimation, et sa précision dépend de la dispersion des résultats et du nombre de trades. L’erreur type de la moyenne vaut SD ÷ √n, où SD est l’écart type des multiples de R et n le nombre de trades. Une fourchette approximative à 95 % correspond à l’estimation plus ou moins deux erreurs types. Si cette fourchette contient zéro, l’échantillon ne permet pas de distinguer un avantage de la chance.

Exemple hypothétique : une méthode qui gagne 40 % du temps à +2R et perd 1R sinon a une espérance réelle de +0,2R et un écart type d’environ 1,47R. Avec 30 trades, la fourchette va d’environ −0,34R à +0,74R ; avec 100 trades, de −0,09R à +0,49R ; ce n’est qu’avec environ 300 trades, de +0,03R à +0,37R, qu’elle dépasse zéro. En résolvant pour n, on obtient une règle empirique : trades nécessaires ≈ (2 × SD ÷ E)², ici (2 × 1,47 ÷ 0,2)² ≈ 216. Des avantages plus petits ou des valeurs extrêmes plus fortes poussent ce nombre vers les centaines ou les milliers.

Voyez ces chiffres comme des minimums, pas comme des objectifs. Les trades ne sont pas parfaitement indépendants, les marchés changent et mélanger les configurations brouille le résultat : quelques dizaines de trades donnent un premier aperçu, quelques centaines un test raisonnable d’une configuration, et même alors l’estimation garde sa marge d’erreur.

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Trois fourchettes pour le même avantage hypothétique, +0,2R par trade avec des gains de +2R et des pertes de −1R, chacune tracée comme une ligne à extrémités avec un point à +0,2 : 30 trades de −0,34 à +0,74 et 100 trades de −0,09 à +0,49, toutes deux marquées inclut 0 : impossible à dire ; 300 trades de +0,03 à +0,37 en vert, marquée tout au-dessus de 0. Une ligne verticale pointillée indique 0 = aucun avantage, l’axe indique espérance par trade (R), ±2 erreurs types, et la formule en haut indique trades nécessaires ≈ (2 × SD ÷ E)² ≈ 216.

Comment les coûts et le glissement rognent l’espérance

Les coûts se paient sur chaque trade, gagnant ou perdant, donc ils se retranchent directement de l’espérance. Ce qui compte, c’est leur taille en R, qui dépend de la distance du stop. Exemple hypothétique : commission, spread et glissement moyen totalisent 0,04 $ par action pour un aller-retour. Avec un stop à 0,50 $, cela fait 0,08R par trade, et une espérance brute de +0,24R devient +0,16R. Avec un stop à 0,20 $, les mêmes 0,04 $ valent 0,20R, et +0,24R tombe à +0,04R, presque rien.

Le glissement change aussi la forme des résultats : dans un marché rapide, les stops sont souvent exécutés au-delà de leur prix, donc la perte moyenne dépasse 1R, et un gap peut sauter un stop entièrement. Mesurez les coûts au lieu de les deviner :

  • Notez le prix d’exécution réel de chaque entrée et de chaque sortie, pas le prix voulu.
  • Calculez R à partir du stop prévu et du résultat réel, pour que le glissement apparaisse sous forme de pertes supérieures à −1R.
  • Incluez commissions, frais et écart acheteur-vendeur, ainsi que les frais d’emprunt pour les ventes à découvert.
  • Méfiez-vous surtout des stratégies rapides à petits objectifs : plus le stop est court, plus le coût en R est élevé.

Mesurer l’espérance dans votre journal de trading

Un journal de trading transforme l’espérance de théorie en mesure. Enregistrez chaque trade de la même façon, puis calculez les chiffres par configuration, car une bonne configuration peut en cacher une mauvaise dans une moyenne globale :

  1. Pour chaque trade, notez la configuration, l’entrée, le stop prévu, la sortie, la taille, les coûts et les exécutions réelles.
  2. Calculez le multiple de R de chaque trade après coûts : le résultat en argent divisé par le risque prévu en argent.
  3. Regroupez les trades par configuration et par marché, et gardez les perdants que vous préféreriez oublier.
  4. Pour chaque groupe, calculez le nombre de trades, le taux de gain, le gain moyen, la perte moyenne, l’espérance et l’écart type des multiples de R.
  5. Ajoutez l’erreur type, la fourchette de deux erreurs types autour de l’espérance et la plus longue série de pertes.
  6. Suivez une espérance glissante sur les 50 ou 100 derniers trades pour voir si l’avantage est stable, sans réagir à chaque creux.

Comparez-la à des entrées aléatoires

Une espérance positive peut venir du marché plutôt que de votre signal. Dans un marché haussier, acheter au hasard avec un stop et un objectif raisonnables peut afficher un bénéfice ; dans un marché plat, les coûts transforment en général ce même trading aléatoire en petite perte. La référence honnête est une version à entrées aléatoires de votre propre méthode : même marché, même période, même sens, même distance de stop, même objectif ou même règle de sortie et mêmes coûts, seul le moment des entrées étant tiré au hasard.

Répétez l’opération de nombreuses fois, par exemple 1 000 séries avec autant de trades que votre échantillon, et regardez où tombe votre résultat dans cette distribution. Dans l’exemple hypothétique ci-dessous, les séries aléatoires se centrent vers −0,08R, le coût par trade, et 95 % d’entre elles restent sous environ +0,08R ; une stratégie à +0,16R se situe au-dessus de cette ligne, ses entrées semblent donc apporter quelque chose dans cet échantillon. Si votre résultat tombe au milieu des séries aléatoires, le signal d’entrée ne fait pas le travail, quoi qu’en dise le backtest. Ce même test est une défense essentielle contre le surajustement des backtests.

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Un histogramme de 1 000 séries d’entrées aléatoires de 200 trades chacune, avec le même sens, le même stop et le même objectif : des barres grises forment une cloche centrée sur −0,08R, avec la note les coûts poussent les entrées aléatoires sous zéro. Une ligne pointillée à +0,08R porte la mention 95 % des séries aléatoires à gauche de cette ligne, et une ligne verte à +0,16R la mention votre stratégie : +0,16R. L’axe indique espérance par trade (R).

Un exemple chiffré, étape par étape

Exemple hypothétique : le journal d’un trader contient 200 trades d’une même configuration de cassure, chacun risquant 1R avec un stop fixé avant l’entrée. Faisons les calculs :

  1. Taux de gain : 80 gagnants sur 200, donc W = 0,40.
  2. Gain moyen : +2,1R avant coûts ; perte moyenne : −1,0R avant coûts.
  3. Espérance brute : 0,40 × 2,1 − 0,60 × 1,0 = 0,84 − 0,60 = +0,24R par trade.
  4. Coûts : environ 0,08R par trade, donc les gagnants font en moyenne +2,02R et les perdants −1,08R, et l’espérance nette vaut 0,40 × 2,02 − 0,60 × 1,08 = +0,16R.
  5. Dispersion : l’écart type des multiples de R nets est d’environ 1,52R, donc l’erreur type sur 200 trades vaut 1,52 ÷ √200 ≈ 0,107R.
  6. Fourchette : +0,16R ± 0,21R, soit d’environ −0,05R à environ +0,37R. L’avantage est plausible mais pas encore prouvé ; (2 × 1,52 ÷ 0,16)² suggère environ 360 trades.
  7. Référence aléatoire : la stratégie bat plus de 95 % des séries d’entrées aléatoires avec le même stop et le même objectif, comme sur le dessin ci-dessus, ce qui soutient le signal, avec la réserve qu’il s’agit d’un seul test.
  8. Décision : continuer avec un risque petit et fixe, continuer à tout noter et refaire le point vers 360 trades plutôt que d’augmenter la taille maintenant.

Les erreurs fréquentes sur l’espérance

La plupart des erreurs viennent du fait de mesurer la mauvaise chose, ou de mesurer trop peu :

  • Juger une méthode sur son seul taux de gain. Un taux élevé avec de petits gains et de grosses pertes peut cacher une espérance négative.
  • Se fier à quelques dizaines de trades. La fourchette autour d’un petit échantillon inclut en général zéro.
  • Oublier les coûts et le glissement, ou calculer R à partir de la sortie réelle au lieu du stop prévu.
  • Déplacer ses stops. Élargir un stop transforme des pertes de −1R en −1,5R ou −2R et change discrètement la méthode que vous mesurez ; voir stop loss et take profit.
  • Mélanger les configurations. Une configuration rentable peut en cacher une perdante ; mesurez-les séparément.
  • Choisir ses trades après coup : sauter des trades dans le journal, ou remettre le compteur à zéro après une mauvaise période.
  • Prendre un backtest ou un tableau de résultats pour une prévision. Les statistiques de tout indicateur, y compris le tableau de résultats simulés de la stratégie UpTickFlow, décrivent le passé et ne sont pas une promesse ; c’est votre propre journal qui compte.