Critère de Kelly en trading : dimensionner ses positions sans se ruiner

D’où vient le critère de Kelly

John L. Kelly Jr., chercheur aux Bell Labs, a publié l’idée en 1956 dans le Bell System Technical Journal, dans un article intitulé A New Interpretation of Information Rate. Il se demandait comment un parieur recevant des tuyaux par une ligne privée bruitée devait dimensionner ses mises pour faire croître son argent le plus vite possible, et a montré que la réponse consiste à maximiser l’espérance du logarithme de la richesse. Le mathématicien Edward Thorp a ensuite appliqué l’idée au blackjack puis aux marchés, et elle fait partie depuis de tout débat sérieux sur la taille des positions.

Le logarithme compte parce que les rendements se composent. Un gain de 50 % suivi d’une perte de 50 % laisse 1,5 × 0,5 = 0,75 du capital de départ, soit une perte de 25 %, alors que la moyenne de +50 % et −50 % vaut zéro. La croissance dépend du produit des résultats, pas de leur moyenne, donc une grosse perte fait plus de mal qu’un gain égal ne fait de bien. La mise de Kelly équilibre les deux ; au-delà, les pertes prennent le dessus. C’est la même arithmétique que celle des intérêts composés, à l’envers quand on perd.

La formule : f* = W − (1 − W) / R

Pour un pari qui rapporte b fois la mise avec une probabilité p et perd la mise avec une probabilité q = 1 − p, la fraction de Kelly vaut f* = p − q ÷ b, la forme habituelle dans les paris. En termes de trading, p est le taux de gain W, b le ratio de gain R (gain moyen ÷ perte moyenne) et la mise correspond à la somme perdue quand le stop est touché, donc f* = W − (1 − W) ÷ R.

Deux détails changent la façon de l’utiliser. D’abord, f* est la part du compte mise en risque, la perte au stop, pas la taille de la position : risquer 10 % d’un compte de 50 000 $ avec un stop à 2,00 $ signifie 5 000 $ en risque et 2 500 actions, soit une position de 125 000 $ à 50 $ l’action. Ensuite, la formule peut s’écrire f* = E ÷ R, l’espérance par trade en R divisée par le ratio de gain : une espérance nulle ou négative donne une fraction nulle ou négative. Pas d’avantage, pas de mise. La même formule sous quatre formes :

• f* = W − (1 − W) ÷ R, avec W le taux de gain et R = gain moyen ÷ perte moyenne.
• f* = p − q ÷ b, la même formule en notation de pari.
• f* = E ÷ R, l’espérance par trade en R divisée par le ratio de gain.
• Taille de position = compte × f ÷ (entrée − stop), le calcul du calculateur de taille de position.

Un exemple chiffré

Exemple hypothétique : une configuration avec 300 trades enregistrés affiche un taux de gain de 45 %, un gain moyen de 2R et une perte moyenne de 1R, après coûts. Le compte vaut 50 000 $.

1. Ratio de gain : R = 2R ÷ 1R = 2.
2. Espérance : E = 0,45 × 2 − 0,55 × 1 = +0,35R par trade.
3. Kelly complet : f* = 0,45 − 0,55 ÷ 2 = 0,175, comme E ÷ R = 0,35 ÷ 2. Soit 17,5 % du compte, 8 750 $ en risque sur chaque trade.
4. Position : avec une entrée à 50,00 $ et un stop à 47,50 $, le risque est de 2,50 $ par action, donc 8 750 $ ÷ 2,50 $ = 3 500 actions, une position de 175 000 $ : 3,5 fois le compte, possible seulement avec un effet de levier.
5. Demi-Kelly : 8,75 %, soit 4 375 $ en risque ; quart de Kelly : environ 4,4 %, soit 2 187,50 $.
6. Risque fixe de 1 % : 500 $ en risque et 200 actions, moins d’un dix-septième du Kelly complet.

Pourquoi Kelly complet est trop agressif pour un trader

Le résultat de Kelly suppose que vous connaissez exactement W et R, que chaque trade répète de façon indépendante le même pari et que les pertes s’arrêtent au montant prévu. Le trading enfreint les trois hypothèses, et la courbe de croissance punit les erreurs de façon inégale : miser la moitié de la fraction de Kelly conserve environ les trois quarts de la croissance, alors que miser le double ramène la croissance à long terme vers zéro, et miser davantage fait fondre le compte même avec une espérance positive.

L’erreur d’estimation est le principal danger. Avec R = 2, la fraction de Kelly vaut 1,5 × W − 0,5 : chaque écart de 5 points de taux de gain la déplace de 7,5 points, comme le montre le dessin ci-dessous. Si vous estimez 45 % à partir d’un échantillon chanceux alors que la vérité est 40 %, la vraie fraction de Kelly est de 10 %, vos 17,5 % sont 1,75 fois trop élevés, et la croissance attendue par trade tombe à moins de la moitié, avec des secousses bien plus fortes. Autres raisons de rester bien en dessous du Kelly complet :

• Drawdowns : dans l’approximation continue habituelle, un parieur au Kelly complet a environ 50 % de chances de voir son compte divisé par deux à un moment donné, et environ 10 % de chances de le voir tomber au dixième.
• Séries : 10 pertes d’affilée à 17,5 % de risque laissent 0,825^10 ≈ 14,6 % du compte, soit une perte d’environ 85 %.
• Gaps et glissement : un stop ne plafonne pas la perte, et un gap peut rendre une perte réelle supérieure à 1R.
• Corrélation : plusieurs trades ouverts sur des marchés liés agissent comme un seul pari plus gros.
• Avantage changeant : un taux de gain mesuré l’an dernier peut ne pas tenir cette année.

Demi-Kelly et quart de Kelly

Comme la courbe de croissance est plate près de son sommet, miser moins que Kelly coûte peu de croissance et retire beaucoup de risque. Dans l’exemple ci-dessus, le demi-Kelly (8,75 %) conserve environ 76 % du taux de croissance maximal et le quart de Kelly (environ 4,4 %) environ 45 %, tandis que les secousses du compte diminuent en proportion de la mise.

Les probabilités de drawdown profond baissent encore plus vite. Dans la même approximation continue, miser une fraction λ de Kelly donne une probabilité x^(2/λ − 1) que le compte tombe un jour à une part x de sa valeur actuelle. Pour une division par deux, cela fait 50 % au Kelly complet, 12,5 % au demi-Kelly et moins de 1 % au quart de Kelly. Ces chiffres supposent un avantage connu exactement, ce qui n’est jamais le cas en trading : ils flattent même le Kelly fractionnaire.

Même le quart de Kelly représente 4,4 % par trade dans cet exemple, bien au-delà de ce que permettent la plupart des règles de gestion du risque. C’est pourquoi beaucoup de traders traitent le Kelly fractionnaire comme un plafond et dimensionnent plutôt avec une petite fraction fixe.

Le risque fixe en pourcentage : la version pratique

Le dimensionnement à fraction fixe risque la même petite part du capital actuel sur chaque trade, en général de 0,5 à 2 %, et fixe la taille de position à partir du stop : actions = (compte × risque %) ÷ (entrée − stop). Le calculateur de taille de position fait exactement cela. Comme le risque est une part du capital actuel, les positions rétrécissent après des pertes et grossissent après des gains, ce qui ralentit un drawdown sans règle supplémentaire.

Le dessin ci-dessous montre pourquoi les petits chiffres comptent. Après 10 pertes d’affilée, un compte qui risque 1 % par trade a perdu environ 9,6 % ; à 2 %, environ 18,3 % ; à 5 %, environ 40 % ; au Kelly complet de l’exemple, environ 85 %. Diviser le compte par deux demande 69 pertes d’affilée à 1 %, 35 à 2 % et seulement 4 à 17,5 %. Ajoutez un plafond au risque total ouvert et une limite de perte quotidienne ou hebdomadaire, comme décrit dans la gestion du risque, et écrivez les règles dans votre plan de trading.

Risque de ruine et remontée après un drawdown

Le risque de ruine est la probabilité de perdre au point de ne plus pouvoir ou vouloir continuer : un appel de marge, un compte sous le minimum du courtier, ou simplement une perte insupportable. Avec une fraction fixe, le compte n’atteint jamais zéro mathématiquement, donc en pratique les traders définissent la ruine comme un niveau, par exemple un drawdown de 50 %, et dimensionnent pour que la probabilité de l’atteindre soit très faible. Cette probabilité dépend de l’avantage, du risque par trade et de la fiabilité des estimations, et c’est pourquoi aucune formule ne remplace une petite taille.

L’arithmétique de la remontée est impitoyable : après une perte d, il faut un gain de 1 ÷ (1 − d) − 1 pour revenir à l’équilibre. Une perte de 10 % demande +11,1 %, une perte de 25 % +33,3 %, une perte de 40 % +66,7 %, une perte de 50 % +100 % et une perte de 75 % +300 %. Les drawdowns profonds prennent aussi du temps à réparer, ce qui met la discipline à l’épreuve, le sujet de la psychologie du trading.

Ne dimensionnez jamais au Kelly avec un avantage non prouvé

Kelly amplifie toute erreur dans ses données d’entrée. Donnez-lui un avantage estimé sur 40 trades, un backtest optimisé ou une supposition optimiste, et il renvoie un chiffre élevé et sûr de lui, bâti sur du bruit. Avant que Kelly n’entre dans la discussion, l’avantage doit reposer sur un large échantillon, des coûts réalistes et un test contre des entrées aléatoires, comme l’expliquent les leçons sur l’espérance en trading et le surajustement des backtests.

Si vous l’utilisez, faites-le avec prudence : prenez le bas de votre fourchette d’espérance plutôt que l’estimation centrale, puis une fraction du résultat. Dans l’exemple chiffré, 300 trades avec un écart type d’environ 1,49R donnent une erreur type d’environ 0,09R, donc une espérance prudente d’environ 0,35 − 2 × 0,09 ≈ +0,17R. Cela donne f = 0,17 ÷ 2 ≈ 8,5 %, et un quart de cette valeur vaut environ 2,1 %, en haut de la fourchette habituelle du risque fixe. Voyez-le comme un plafond, pas comme un objectif.

Les erreurs fréquentes avec le critère de Kelly

La formule est simple ; les façons de mal l’utiliser sont nombreuses :

• Prendre f* pour la taille de la position au lieu du montant en risque jusqu’au stop.
• Utiliser un taux de gain et un ratio de gain tirés d’un petit échantillon ou d’un backtest optimisé.
• Oublier les coûts, qui réduisent à la fois l’espérance et la fraction de Kelly.
• Appliquer la fraction complète à plusieurs trades corrélés en même temps, ce qui multiplie le risque réel.
• Augmenter la taille après une série de gains parce que l’avantage paraît plus solide.
• Utiliser l’effet de levier pour atteindre une position de taille Kelly, comme dans l’exemple chiffré où le Kelly complet exigeait 3,5 fois le compte ; voir levier et marge.