معيار كيلي في التداول: تحديد حجم المركز دون إفلاس

من أين جاء معيار كيلي

نشر جون كيلي الابن (John L. Kelly Jr.)، الباحث في مختبرات بِل، الفكرة عام 1956 في مجلة Bell System Technical Journal، في ورقة بعنوان A New Interpretation of Information Rate. سأل: كيف يحدد مقامر يتلقى معلومات عبر خط خاص مشوَّش حجم رهاناته لينمو ماله بأسرع ما يمكن؟ وأثبت أن الجواب هو تعظيم القيمة المتوقعة للوغاريتم الثروة. ثم طبّق عالم الرياضيات إدوارد ثورب (Edward Thorp) الفكرة على لعبة البلاك جاك ثم على الأسواق، وصارت منذ ذلك الحين جزءاً من كل نقاش جاد حول حجم المركز.

اللوغاريتم مهم لأن العوائد تتراكب. فربح 50% تتبعه خسارة 50% يترك 1.5 × 0.5 = 0.75 من رأس المال، أي خسارة 25%، مع أن متوسط +50% و−50% صفر. فالنمو يتوقف على حاصل ضرب النتائج لا على متوسطها، والخسارة الكبيرة تؤذي أكثر مما ينفع ربح مساوٍ لها. ويجد حجم كيلي الرهان الذي يوازن بين الأمرين، وما بعده تبدأ الخسائر في الغلبة. وهو الحساب نفسه الذي يحرّك العائد المركّب، لكن بالاتجاه المعاكس حين تخسر.

المعادلة: f* = W − (1 − W) / R

في رهان يربح b ضعف المبلغ المراهَن عليه باحتمال p ويخسره باحتمال q = 1 − p، تكون نسبة كيلي f* = p − q ÷ b، وهي الصيغة الشائعة في المراهنات. وبلغة التداول: p هي نسبة الفوز W، وb هي نسبة العائد R (متوسط الربح ÷ متوسط الخسارة)، والمبلغ المراهَن عليه هو ما تخسره إن ضُرب الوقف، فتصبح f* = W − (1 − W) ÷ R.

تفصيلان يغيّران طريقة استخدامها. الأول: f* هي نسبة الحساب المعرّضة للخطر، أي الخسارة عند الوقف، لا حجم المركز؛ فالمخاطرة بـ10% من حساب قيمته 50,000 دولار مع وقف على بعد 2.00 دولار تعني 5,000 دولار معرّضة للخطر و2,500 سهم، أي مركزاً قيمته 125,000 دولار إن كان سعر السهم 50 دولاراً. والثاني: يمكن كتابة المعادلة f* = E ÷ R، أي التوقع للصفقة بوحدة R مقسوماً على نسبة العائد، فالتوقع الصفري أو السالب يعطي نسبة صفرية أو سالبة: لا أفضلية، لا رهان. والمعادلة نفسها بأربع صيغ:

• f* = W − (1 − W) ÷ R، حيث W نسبة الفوز وR = متوسط الربح ÷ متوسط الخسارة.
• f* = p − q ÷ b، المعادلة نفسها بترميز المراهنات.
• f* = E ÷ R، التوقع للصفقة بوحدة R مقسوماً على نسبة العائد.
• حجم المركز = الحساب × f ÷ (الدخول − الوقف)، وهو حساب حاسبة حجم الصفقة.

مثال محلول

مثال افتراضي: إعداد سُجّلت له 300 صفقة يُظهر نسبة فوز 45% ومتوسط ربح 2R ومتوسط خسارة 1R بعد التكاليف. والحساب 50,000 دولار.

1. نسبة العائد: R = 2R ÷ 1R = 2.
2. التوقع: E = 0.45 × 2 − 0.55 × 1 = +0.35R للصفقة.
3. كيلي الكامل: f* = 0.45 − 0.55 ÷ 2 = 0.175، وهو نفسه E ÷ R = 0.35 ÷ 2. أي 17.5% من الحساب، و8,750 دولاراً معرّضة للخطر في كل صفقة.
4. المركز: مع دخول عند 50.00 دولاراً ووقف عند 47.50 تكون المخاطرة 2.50 دولار للسهم، فيكون 8,750 ÷ 2.50 = 3,500 سهم، أي مركز قيمته 175,000 دولار: 3.5 أضعاف الحساب، ولا يتاح إلا بالرافعة المالية.
5. نصف كيلي: 8.75%، أي 4,375 دولاراً معرّضة للخطر؛ وربع كيلي: نحو 4.4%، أي 2,187.50 دولاراً.
6. مخاطرة ثابتة 1%: 500 دولار معرّضة للخطر و200 سهم، أي أقل من جزء من سبعة عشر جزءاً من كيلي الكامل.

لماذا كيلي الكامل عدواني جداً للمتداولين

تفترض نتيجة كيلي أنك تعرف W وR بدقة، وأن كل صفقة تكرار مستقل للرهان نفسه، وأن الخسائر تتوقف عند المبلغ المخطّط. والتداول يكسر الافتراضات الثلاثة، ومنحنى النمو يعاقب الأخطاء بشكل غير متساوٍ: فالرهان بنصف نسبة كيلي يحتفظ بنحو ثلاثة أرباع النمو، بينما الرهان بضعفها يهبط بالنمو طويل المدى إلى الصفر تقريباً، والرهان بأكثر من ذلك يقلّص الحساب حتى مع توقع موجب.

خطأ التقدير هو الخطر الأكبر. فعند R = 2 تكون نسبة كيلي 1.5 × W − 0.5، فكل 5 نقاط في نسبة الفوز تحرّكها 7.5 نقطة، كما يبيّن الرسم أدناه. فإن قدّرت 45% من عينة محظوظة وكانت الحقيقة 40%، فنسبة كيلي الحقيقية 10%، ونسبتك 17.5% أكبر منها 1.75 مرة، والنمو المتوقع للصفقة يهبط إلى أقل من النصف مع تقلبات أعنف بكثير. وأسباب أخرى للبقاء دون كيلي الكامل بكثير:

• التراجعات: في التقريب المتصل المعتاد، لدى من يراهن بكيلي الكامل احتمال نحو 50% أن يرى حسابه ينخفض إلى النصف في وقت ما، ونحو 10% أن يراه ينخفض إلى العُشر.
• السلاسل: 10 خسائر متتالية بمخاطرة 17.5% تترك 0.825^10 ≈ 14.6% من الحساب، أي خسارة نحو 85%.
• الفجوات والانزلاق: الوقف لا يحدّ الخسارة حداً قاطعاً، والفجوة السعرية قد تجعل الخسارة الفعلية أكبر من 1R.
• الارتباط: عدة صفقات مفتوحة في أسواق مترابطة تتصرف كرهان واحد أكبر.
• تغيّر الأفضلية: نسبة الفوز المقيسة العام الماضي قد لا تصمد هذا العام.

نصف كيلي وربع كيلي

لأن منحنى النمو مسطّح قرب قمته، فالرهان بأقل من كيلي لا يكلّف إلا قليلاً من النمو ويزيل كثيراً من المخاطرة. في المثال السابق يحتفظ نصف كيلي (8.75%) بنحو 76% من أقصى معدل نمو، وربع كيلي (نحو 4.4%) بنحو 45%، بينما تتقلص تقلبات الحساب بنسبة حجم الرهان.

واحتمالات التراجع العميق تهبط أسرع من ذلك. ففي التقريب المتصل نفسه، الرهان بجزء λ من كيلي يعطي احتمالاً قدره x^(2/λ − 1) لأن ينخفض الحساب في وقت ما إلى الحصة x من قيمته الحالية. وللانخفاض إلى النصف: 50% عند كيلي الكامل، و12.5% عند نصف كيلي، وأقل من 1% عند ربع كيلي. وهذه الأرقام تفترض معرفة الأفضلية بدقة، وهو ما لا يتحقق في التداول أبداً، فهي تجمّل صورة كيلي الجزئي نفسه.

وحتى ربع كيلي يبلغ 4.4% للصفقة في هذا المثال، وهو أعلى بكثير مما تسمح به معظم قواعد إدارة المخاطر، ولهذا يعامل كثير من المتداولين كيلي الجزئي حداً أعلى، ويحددون الحجم بنسبة ثابتة صغيرة بدلاً منه.

المخاطرة بنسبة ثابتة: النسخة العملية

تخاطر طريقة النسبة الثابتة (Fixed-Fractional) بالحصة الصغيرة نفسها من رصيد الحساب الحالي في كل صفقة، عادة بين 0.5% و2%، وتحدد حجم المركز من الوقف: عدد الأسهم = (الحساب × نسبة المخاطرة) ÷ (الدخول − الوقف). وحاسبة حجم الصفقة تفعل ذلك بالضبط. ولأن المخاطرة حصة من الرصيد الحالي، تصغر المراكز بعد الخسائر وتكبر بعد الأرباح، فيتباطأ التراجع دون أي قاعدة إضافية.

يبيّن الرسم أدناه أهمية الأرقام الصغيرة. فبعد 10 خسائر متتالية يتراجع حساب يخاطر بـ1% للصفقة نحو 9.6%، وبـ2% نحو 18.3%، وبـ5% نحو 40%، وبكيلي الكامل في المثال نحو 85%. ويتطلب انخفاض الحساب إلى النصف 69 خسارة متتالية عند 1%، و35 عند 2%، وأربعاً فقط عند 17.5%. أضف حداً أقصى لمجموع المخاطرة المفتوحة وحداً للخسارة اليومية أو الأسبوعية، كما في إدارة المخاطر، واكتب القواعد في خطة التداول.

خطر الإفلاس والتعافي من التراجع

خطر الإفلاس (Risk of Ruin) هو احتمال أن تخسر قدراً يمنعك من الاستمرار أو يجعلك تتوقف: نداء هامش، أو حساب دون الحد الأدنى لدى الوسيط، أو ببساطة خسارة لا تحتملها. ومع النسبة الثابتة لا يصل الحساب رياضياً إلى الصفر أبداً، فيعرّف المتداولون الإفلاس عملياً بمستوى معين، كتراجع 50%، ويحددون أحجامهم بحيث يكون احتمال بلوغه ضئيلاً جداً. ويتوقف هذا الاحتمال على الأفضلية والمخاطرة للصفقة ومدى موثوقية التقديرات، ولهذا لا تغني أي معادلة عن الحجم الصغير.

وحساب التعافي قاسٍ: بعد خسارة d تحتاج إلى ربح قدره 1 ÷ (1 − d) − 1 لتعود إلى نقطة البداية. فخسارة 10% تحتاج إلى +11.1%، وخسارة 25% إلى +33.3%، وخسارة 40% إلى +66.7%، وخسارة 50% إلى +100%، وخسارة 75% إلى +300%. والتراجعات العميقة تحتاج أيضاً إلى وقت لإصلاحها، وهذا يمتحن الانضباط، وهو موضوع سيكولوجية التداول.

لا تحدد الحجم بكيلي مع أفضلية غير مثبتة

يضاعف كيلي أي خطأ في مدخلاته. فإن غذّيته بأفضلية مقدّرة من 40 صفقة، أو باختبار تاريخي محسَّن، أو بتخمين متفائل، أعاد إليك رقماً كبيراً واثقاً مبنياً على الضجيج. وقبل أن يدخل كيلي في النقاش تحتاج الأفضلية إلى عينة كبيرة وتكاليف واقعية واختبار مقابل الدخول العشوائي، كما يشرح درسا التوقع الرياضي في التداول والإفراط في ملاءمة الاختبار التاريخي.

وإن استخدمته فاستخدمه بتحفظ: أدخل الطرف الأدنى من مدى توقعك لا التقدير المركزي، ثم خذ جزءاً من النتيجة. في المثال المحلول تعطي 300 صفقة بانحراف معياري نحو 1.49R خطأً معيارياً نحو 0.09R، فيكون التوقع المتحفظ نحو 0.35 − 2 × 0.09 ≈ +0.17R. وهذا يعطي f = 0.17 ÷ 2 ≈ 8.5%، وربعها نحو 2.1%، عند الطرف الأعلى من نطاق النسبة الثابتة المعتاد. عامل هذا الرقم سقفاً لا هدفاً.

أخطاء شائعة مع معيار كيلي

المعادلة بسيطة، وطرق إساءة استخدامها كثيرة:

• معاملة f* على أنها حجم المركز بدل المبلغ المعرّض للخطر حتى الوقف.
• استخدام نسبة فوز ونسبة عائد من عينة صغيرة أو من اختبار تاريخي محسَّن.
• إهمال التكاليف، وهي تخفض التوقع ونسبة كيلي معاً.
• تطبيق النسبة كاملة على عدة صفقات مترابطة في وقت واحد، فتتضاعف المخاطرة الحقيقية.
• رفع الحجم بعد سلسلة أرباح لأن الأفضلية تبدو أقوى.
• استخدام الرافعة المالية للوصول إلى مركز بحجم كيلي، كما في المثال المحلول حيث احتاج كيلي الكامل إلى 3.5 أضعاف الحساب. راجع الرافعة المالية والهامش.