De dónde viene el criterio de Kelly

John L. Kelly Jr., investigador de Bell Labs, publicó la idea en 1956 en el Bell System Technical Journal, en un artículo titulado A New Interpretation of Information Rate. Se preguntó cómo debía dimensionar sus apuestas un apostador que recibe datos por una línea privada con ruido para que su dinero creciera lo más rápido posible, y demostró que la respuesta es maximizar el valor esperado del logaritmo de la riqueza. El matemático Edward Thorp aplicó después la idea al blackjack y luego a los mercados, y desde entonces forma parte de todo debate serio sobre el tamaño de las posiciones.

El logaritmo importa porque los rendimientos se componen. Una ganancia del 50% seguida de una pérdida del 50% deja 1.5 × 0.5 = 0.75 del capital inicial, una pérdida del 25%, aunque el promedio de +50% y −50% es cero. El crecimiento depende del producto de los resultados, no de su promedio, así que una pérdida grande hace más daño que el bien que hace una ganancia igual. El tamaño de Kelly encuentra la apuesta que equilibra ambas cosas; más allá, las pérdidas empiezan a dominar. Es la misma aritmética del interés compuesto, al revés cuando pierdes.

La fórmula: f* = W − (1 − W) / R

En una apuesta que gana b veces lo apostado con probabilidad p y pierde lo apostado con probabilidad q = 1 − p, la fracción de Kelly es f* = p − q ÷ b, la forma habitual en las apuestas. En términos de trading, p es la tasa de acierto W, b es el ratio de pago R (ganancia media ÷ pérdida media) y lo apostado es lo que pierdes si salta el stop, así que f* = W − (1 − W) ÷ R.

Dos detalles cambian cómo se usa. Primero, f* es la parte de la cuenta que pones en riesgo, la pérdida en el stop, no el tamaño de la posición: arriesgar el 10% de una cuenta de US$50,000 con un stop de US$2.00 significa US$5,000 en riesgo y 2,500 acciones, una posición de US$125,000 a US$50 por acción. Segundo, la fórmula puede escribirse f* = E ÷ R, la expectativa por operación en R dividida entre el ratio de pago, así que una expectativa nula o negativa da una fracción nula o negativa: sin ventaja, no hay apuesta. La misma fórmula en cuatro formas:

  • f* = W − (1 − W) ÷ R, con W la tasa de acierto y R = ganancia media ÷ pérdida media.
  • f* = p − q ÷ b, la misma fórmula en notación de apuestas.
  • f* = E ÷ R, la expectativa por operación en R dividida entre el ratio de pago.
  • Tamaño de la posición = cuenta × f ÷ (entrada − stop), el cálculo de la calculadora de tamaño de posición.

Un ejemplo resuelto

Ejemplo hipotético: una configuración con 300 operaciones registradas muestra un acierto del 45%, una ganancia media de 2R y una pérdida media de 1R, después de costos. La cuenta es de US$50,000.

  1. Ratio de pago: R = 2R ÷ 1R = 2.
  2. Expectativa: E = 0.45 × 2 − 0.55 × 1 = +0.35R por operación.
  3. Kelly completo: f* = 0.45 − 0.55 ÷ 2 = 0.175, igual que E ÷ R = 0.35 ÷ 2. Es el 17.5% de la cuenta, US$8,750 en riesgo en cada operación.
  4. Posición: con una entrada en US$50.00 y un stop en US$47.50, el riesgo es de US$2.50 por acción, así que US$8,750 ÷ US$2.50 = 3,500 acciones, una posición de US$175,000: 3.5 veces la cuenta, solo posible con apalancamiento.
  5. Medio Kelly: 8.75%, o US$4,375 en riesgo; un cuarto de Kelly: cerca del 4.4%, o US$2,187.50.
  6. Riesgo fijo del 1%: US$500 en riesgo y 200 acciones, menos de una diecisieteava parte del Kelly completo.

Por qué Kelly completo es demasiado agresivo para un trader

El resultado de Kelly supone que conoces W y R con exactitud, que cada operación es una repetición independiente de la misma apuesta y que las pérdidas se detienen en lo planeado. El trading rompe los tres supuestos, y la curva de crecimiento castiga los errores de forma desigual: apostar la mitad de la fracción de Kelly conserva cerca de tres cuartas partes del crecimiento, mientras que apostar el doble lleva el crecimiento a largo plazo casi a cero, y apostar más reduce la cuenta incluso con expectativa positiva.

El error de estimación es el mayor peligro. Con R = 2, la fracción de Kelly es 1.5 × W − 0.5, así que cada 5 puntos de acierto la mueven 7.5 puntos, como muestra el dibujo de abajo. Si estimas un 45% con una muestra afortunada y la verdad es 40%, la verdadera fracción de Kelly es 10%, tu 17.5% es 1.75 veces demasiado grande y el crecimiento esperado por operación cae a menos de la mitad, con vaivenes mucho mayores. Otras razones para quedarte muy por debajo del Kelly completo:

  • Caídas: en la aproximación continua habitual, quien apuesta Kelly completo tiene cerca de un 50% de probabilidad de ver su cuenta reducida a la mitad en algún momento, y cerca de un 10% de verla caer a la décima parte.
  • Rachas: 10 pérdidas seguidas con un riesgo del 17.5% dejan 0.825^10 ≈ 14.6% de la cuenta, una pérdida de cerca del 85%.
  • Gaps y deslizamiento: un stop no pone tope a la pérdida, y un gap puede hacer que una pérdida real supere 1R.
  • Correlación: varias operaciones abiertas en mercados relacionados actúan como una sola apuesta más grande.
  • Ventajas que cambian: un acierto medido el año pasado puede no sostenerse este año.

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A la izquierda, una línea de la fracción de Kelly según el acierto estimado para R = 2 (ganancia media 2R, pérdida media 1R): cero hasta cerca del 33% y luego en subida, con puntos en 40% → 10%, 45% → 17.5% en rojo y 50% → 25%, y la nota 5 puntos de acierto = 7.5 puntos de Kelly. A la derecha, una ficha titulada crees que es 45%, en realidad es 40%: arriesgas 17.5%, Kelly real 10%, apuestas 1.75× Kelly, crecimiento por operación: menos de la mitad, con 0.0046 vs 0.0097 debajo.

Medio Kelly y un cuarto de Kelly

Como la curva de crecimiento es plana cerca de su máximo, apostar menos que Kelly cuesta poco crecimiento y elimina mucho riesgo. En el ejemplo anterior, medio Kelly (8.75%) conserva cerca del 76% de la tasa de crecimiento máxima y un cuarto de Kelly (cerca del 4.4%) cerca del 45%, mientras los vaivenes de la cuenta se reducen en proporción a la apuesta.

Las probabilidades de una caída profunda bajan todavía más rápido. En la misma aproximación continua, apostar una fracción λ de Kelly da una probabilidad de x^(2/λ − 1) de que la cuenta caiga alguna vez a una proporción x de su valor actual. Para quedar a la mitad, eso es 50% con Kelly completo, 12.5% con medio Kelly y menos del 1% con un cuarto de Kelly. Estas cifras suponen que la ventaja se conoce con exactitud, cosa que en trading nunca ocurre, así que favorecen incluso al Kelly fraccionario.

Incluso un cuarto de Kelly es un 4.4% por operación en este ejemplo, muy por encima de lo que permiten la mayoría de las reglas de gestión del riesgo, por eso muchos traders tratan el Kelly fraccionario como un tope y dimensionan con una fracción fija pequeña.

Riesgo fijo por operación: la versión práctica

El dimensionamiento de fracción fija arriesga la misma pequeña parte del capital actual en cada operación, por lo general del 0.5% al 2%, y fija el tamaño de la posición a partir del stop: acciones = (cuenta × % de riesgo) ÷ (entrada − stop). La calculadora de tamaño de posición hace exactamente eso. Como el riesgo es una parte del capital actual, las posiciones se achican después de pérdidas y crecen después de ganancias, lo que frena una caída sin ninguna regla adicional.

El dibujo de abajo muestra por qué importan las cifras pequeñas. Tras 10 pérdidas seguidas, una cuenta que arriesga el 1% por operación baja cerca del 9.6%; con el 2%, cerca del 18.3%; con el 5%, cerca del 40%; con el Kelly completo del ejemplo, cerca del 85%. Reducir la cuenta a la mitad requiere 69 pérdidas seguidas con el 1%, 35 con el 2% y solo 4 con el 17.5%. Añade un tope al riesgo total abierto y un límite de pérdida diario o semanal, como se describe en gestión del riesgo, y escribe las reglas en tu plan de trading.

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Cinco barras muestran una cuenta que parte de 100 tras 10 pérdidas seguidas, según el riesgo por operación: 95.1 con 0.5%, 90.4 con 1%, 81.7 con 2%, 59.9 con 5% y, en rojo, 14.6 con 17.5%, con la etiqueta Kelly completo del ejemplo. Bajo cada barra, el número de pérdidas seguidas que reduce la cuenta a la mitad: 139, 69, 35, 14 y 4.

Riesgo de ruina y recuperación de una caída

El riesgo de ruina es la probabilidad de perder tanto que ya no puedas o no quieras seguir: una llamada de margen, una cuenta por debajo del mínimo del bróker o simplemente una pérdida que no soportarías. Con una fracción fija, la cuenta nunca llega a cero en términos matemáticos, así que en la práctica los traders definen la ruina como un nivel, por ejemplo una caída del 50%, y dimensionan para que la probabilidad de llegar a él sea muy pequeña. Esa probabilidad depende de la ventaja, del riesgo por operación y de la fiabilidad de las estimaciones, por eso ninguna fórmula sustituye a un tamaño pequeño.

La aritmética de la recuperación no perdona: tras una pérdida d, necesitas una ganancia de 1 ÷ (1 − d) − 1 para volver al punto de partida. Una pérdida del 10% necesita +11.1%; una del 25%, +33.3%; una del 40%, +66.7%; una del 50%, +100%, y una del 75%, +300%. Las caídas profundas también tardan en repararse, lo que pone a prueba la disciplina, el tema de la psicología del trading.

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Pares de barras bajo el título ganancia para volver al punto de partida = 1 ÷ (1 − pérdida) − 1: una barra roja de pérdida bajo la línea y una barra verde encima con la ganancia necesaria para recuperarse, a la misma escala: −10% y +11%, −25% y +33%, −40% y +67%, −50% y +100%, y −75% y +300%, con la última barra verde cortada porque es demasiado alta para dibujarla.

Nunca dimensiones con Kelly una ventaja sin probar

Kelly multiplica cualquier error de sus datos de entrada. Si le das una ventaja estimada con 40 operaciones, un backtest optimizado o una suposición optimista, te devuelve un número grande y seguro construido sobre ruido. Antes de que Kelly entre en la conversación, la ventaja necesita una muestra grande, costos realistas y una prueba contra entradas al azar, como explican las lecciones sobre la expectativa en trading y el sobreajuste del backtest.

Si lo usas, hazlo con prudencia: usa el extremo bajo de tu rango de expectativa en lugar de la estimación central, y luego toma una fracción del resultado. En el ejemplo resuelto, 300 operaciones con una desviación estándar de unos 1.49R dan un error estándar de unos 0.09R, así que una expectativa prudente ronda 0.35 − 2 × 0.09 ≈ +0.17R. Eso da f = 0.17 ÷ 2 ≈ 8.5%, y una cuarta parte de eso es cerca del 2.1%, en el extremo alto del rango habitual de riesgo fijo. Tómalo como un tope, no como una meta.

Errores comunes con el criterio de Kelly

La fórmula es sencilla; las formas de usarla mal son muchas:

  • Tomar f* como el tamaño de la posición en lugar de la cantidad en riesgo hasta el stop.
  • Usar un acierto y un ratio de pago sacados de una muestra pequeña o de un backtest optimizado.
  • Dejar fuera los costos, que reducen tanto la expectativa como la fracción de Kelly.
  • Aplicar la fracción completa a varias operaciones correlacionadas a la vez, lo que multiplica el riesgo real.
  • Subir el tamaño tras una racha ganadora porque la ventaja parece más firme.
  • Usar apalancamiento para llegar a una posición del tamaño de Kelly, como en el ejemplo resuelto, donde el Kelly completo exigía 3.5 veces la cuenta; consulta apalancamiento y margen.